sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 为什么 对数与指数互为逆运算（1）

sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 为什么 对数与指数互为逆运算1flyfish1. 指数运算相关术语对于乘方运算abN\boldsymbol{a^b N}abN底数aaa是乘方运算的底数即被重复相乘的数指数bbb是指数表示底数相乘的次数扩展到实数域后表示幂次幂运算结果NNN叫做底数aaa的bbb次幂。例2382^3 8238中2是底数3是指数8是2的3次幂。2. 对数运算相关术语对数是指数的逆运算定义为若abNa^b NabNa0a0a0且a≠1a\neq1a1N0N0N0则bbb叫做以aaa为底NNN的对数记作log⁡aNb\boldsymbol{\log_a N b}loga​Nb底数aaa是对数的底数对应指数运算的底数真数NNN是真数对应指数运算的幂运算结果真数必须大于0对数bbb就是对数的值本质就是指数运算里的指数。例log⁡283\log_2 8 3log2​83中2是底数8是真数3是对数对应指数式2382^38238。特别地以自然常数eee为底的对数称为自然对数记作ln⁡(N)\ln(N)ln(N)即ln⁡(N)log⁡eN\ln(N) \log_e Nln(N)loge​N。3. 对数与指数互为逆运算的推导逆运算的核心是两种运算先后作用于同一个数结果等于原数。我们从定义出发严格推导1指数套对数alog⁡aNN\boldsymbol{a^{\log_a N} N}aloga​NN设blog⁡aNb \log_a Nbloga​N根据对数的定义它对应的指数式为abNa^b NabN将blog⁡aNb \log_a Nbloga​N代入上式直接得到alog⁡aNNa^{\log_a N} Naloga​NN含义先对NNN取以aaa为底的对数再取aaa的这么多次方结果回到原数NNN。2对数套指数log⁡a(ab)b\boldsymbol{\log_a (a^b) b}loga​(ab)b对于指数式abNa^b NabN根据对数的定义写成对数式为log⁡aNb\log_a N bloga​Nb将NabN a^bNab代入上式直接得到log⁡a(ab)b\log_a (a^b) bloga​(ab)b含义先取aaa的bbb次方再对结果取以aaa为底的对数结果回到原指数bbb。相同底数下指数运算和对数运算互为逆运算先后作用会相互抵消。