一年前陶哲轩还在批评AI满嘴跑火车一年后他宣布AI已经成为他的初级合作者。从怀疑到拥抱这位数学天才对AI的态度为何发生180度大转弯本文从陶哲轩的AI探索之路切入深度解析数学与AI的协作新模式——形式化验证。附5个AI数学工具推荐数学爱好者必看。一、一个数学天才的打脸时刻2023年2月陶哲轩在他的博客上写了一篇文章题目叫《AI大模型在数学上还不够好》。在那篇文章里这位被誉为当代最聪明数学家的男人毫不留情地批评了当时的AI大模型——他说ChatGPT在解答数学问题时经常一本正经地胡说八道“看起来写了满满一页推导仔细一看全是错的”。他甚至举了一个例子他让ChatGPT证明一个经典的数论定理结果AI给出的证明每三步就有一个错误逻辑链条完全断裂但语气却异常自信。那时候的陶哲轩对AI的态度可以用一个词来形容不屑。这也难怪。陶哲轩是谁7岁自学微积分9岁上大学数学课13岁获得国际数学奥林匹克金牌至今仍是该赛事最年轻金牌得主纪录保持者21岁拿到普林斯顿大学博士学位24岁成为加州大学洛杉矶分校UCLA终身教授31岁获得数学界最高奖菲尔兹奖他这辈子见过的聪明太多了。在他眼里一个只会胡诌数学证明的AI大概和一个考试全靠蒙的学生没什么区别。然而仅仅一年之后陶哲轩的态度就发生了180度大转弯。2024年3月陶哲轩在他的博客上发表了另一篇文章标题是《AI已经成为我的初级研究合作者》。在这篇文章里他详细描述了自己如何用AI工具辅助数学研究——从证明思路的探索到形式化验证的辅助再到论文写作的润色。他甚至说“如果没有AI的帮助有些研究项目可能要多花好几倍的时间。”从满嘴跑火车到初级合作者中间只隔了一年。这一年里到底发生了什么AI是如何征服这位数学天才的今天我们就来聊聊这个话题——AI和数学这两个看似最不搭界的领域是怎么走到一起的。二、陶哲轩的AI探索之路从怀疑到拥抱的时间线要理解陶哲轩的态度转变我们得先看看他这一年多来的AI探索时间线。这不是一个突然的决定而是一个逐步发现、逐步深入的过程。第一阶段怀疑期2023年初——“AI就是个数学骗子”2023年初ChatGPT横空出世全网都在讨论AI会不会取代人类。陶哲轩也凑了个热闹。他拿了几个自己熟悉的数学问题去测试ChatGPT结果大失所望。他发现了AI的几个典型问题编造事实AI会引述根本不存在的定理和论文而且编得有鼻子有眼逻辑跳跃证明过程中经常出现显然可得但实际上那一步根本不显然甚至是错的不会检查AI对自己的错误毫无察觉哪怕你指出了它的问题它有时候还会继续编新的错误来圆之前的谎用陶哲轩自己的话说“它就像一个非常自信但完全不学无术的学生说话的语气永远是对的但内容全是错的。”这个阶段的陶哲轩基本上把AI当成一个高级玩具——偶尔拿来玩玩但绝不相信它能做真正的数学研究。第二阶段试探期2023年中——“哎好像有点东西”转变发生在2023年年中。那时候GPT-4出来了性能比GPT-3.5提升了一大截。更重要的是出现了一些专门针对数学优化的AI工具比如Lean的AI辅助证明功能。陶哲轩开始尝试用AI做一些边角料的工作——不是核心的证明而是一些辅助性的事情翻译数学语言把一个数学领域的概念翻译成另一个领域的表述方式文献检索让AI帮忙查找某类问题的相关研究虽然偶尔还是会编但已经比之前好多了代码辅助用AI写一些数值验证的小程序教学解释让AI用更通俗的语言解释一些复杂的数学概念他发现虽然AI在原创数学证明这件事上还是不行但在这些辅助性工作上已经相当好用了。用对了地方确实能节省不少时间。这就像你本来觉得一个实习生啥也不会结果某天发现他虽然做不了核心项目但整理文档、查找资料、跑腿打杂这些事儿干得还挺利索。态度的松动就是从这里开始的。第三阶段深入期2023年下半年——“形式化验证打开了新世界”真正让陶哲轩对AI刮目相看的是形式化验证这个领域。什么是形式化验证简单说就是用计算机程序来检验数学证明是否正确。你把一个数学定理和它的证明用一种严格的形式化语言比如Lean写出来然后让计算机去检查每一步推导对不对逻辑链条有没有断有没有隐藏的假设以前形式化验证是一件非常枯燥繁琐的事情——把一个人类数学家写的证明翻译成机器能理解的形式化语言可能要花几个月甚至几年时间。但AI改变了这一切。2023年下半年陶哲轩开始用AI辅助进行形式化验证。他惊喜地发现AI虽然不擅长从零开始证明一个定理但非常擅长把一个人类已经想到的证明思路翻译成形式化语言。就好比一个建筑设计师画出了蓝图AI虽然不会设计建筑但它能照着蓝图一砖一瓦地把房子盖起来而且盖得又快又准。陶哲轩在博客里写道“以前我可能要花好几天时间才能把一个证明思路形式化。现在有了AI辅助同样的工作可能只需要几个小时。这让我可以把更多精力用在真正需要创造力的部分——思考证明的方向。”第四阶段合作期2024年至今——“AI是我的初级合作者”到了2024年陶哲轩已经完全接受了AI作为他研究工作的一部分。他在博客里详细描述了自己的AI协作工作流头脑风暴阶段用ChatGPT或Claude进行初步的思路探索让AI提出各种可能的证明方向虽然大部分是错的但偶尔会有启发形式化验证阶段找到一个看起来可行的方向后用AI辅助把证明思路翻译成Lean形式化语言让计算机检查每一步是否正确论文写作阶段证明完成后用AI帮忙润色论文的语言表达调整结构他说AI就像是一个初级合作者——它做不了最有创造性的工作但能帮你处理大量繁琐的、机械性的劳动让你把精力集中在真正需要思考的部分。从不屑到初级合作者陶哲轩的态度转变其实也是整个数学界对AI态度的一个缩影。灵感阶段有了一个新的数学想法先跟AI聊一聊——“这个方向有没有人做过”“类似的问题通常用什么方法”探索阶段尝试用不同的路径攻克问题让AI帮忙计算一些特例、验证一些猜想证明阶段找到证明思路后让AI帮忙把证明形式化检查有没有漏洞写作阶段论文初稿写完后让AI帮忙润色语言、调整结构他特别强调“AI不是来替我做数学的而是来帮我做数学的。它就像一个初级合作者——有一些知识能做一些工作但还不够成熟需要我来指导和把关。”从数学骗子到初级合作者陶哲轩用了一年时间走完了这段路。而这一年恰恰也是AI技术进步最快的一年。三、核心技术解析AI到底是怎么做数学的说了这么多你可能会好奇AI做数学到底是怎么做到的它真的理解数学吗这是一个非常深刻的问题。在回答之前我们先来看两种不同的AI做数学的路径。路径一大语言模型路线——“靠感觉做数学”这是我们最熟悉的路线——ChatGPT、GPT-4、Claude这些大语言模型都属于这一类。它们怎么做数学呢本质上和人类刷题有点像——大语言模型在训练的时候看了海量的数学教材、论文、习题解答。它记住了大量的数学模式什么类型的问题通常用什么方法什么定理经常和什么定理一起出现标准的证明套路是什么样的。当你问它一个数学问题时它不是在推理而是在预测——根据它学到的模式预测下一句应该说什么。这就解释了为什么大语言模型经常会胡说八道——因为它根本不知道自己说的对不对它只是在生成看起来像正确答案的文本。但你别说这种靠感觉做数学的方式在某些情况下还真挺管用的。尤其是在以下几个场景数学概念解释用通俗的语言解释抽象的数学概念AI做得比很多老师都好证明思路启发当你卡住的时候跟AI聊聊有时候它能给你一些意想不到的角度多领域交叉AI的知识面很广有时候能发现不同数学领域之间的联系当然前提是你得有能力辨别它说的是对还是错。就像陶哲轩——他知道AI会犯错但他也知道怎么从AI的一堆错误里挖出有用的东西。路径二形式化证明路线——“靠逻辑做数学”这是另一条完全不同的路线也是让陶哲轩真正改观的路线。形式化证明工具比如Lean、Isabelle、Coq本质上是一种证明助手。它不是来替你证明的而是来帮你检查证明对不对的。它的工作原理是这样的你用一种非常严格的形式化语言把数学定理和证明步骤写进系统里系统会一步一步地检查这一步是不是符合逻辑规则是不是从前面的步骤正确推导出来的如果有任何一步不对系统会立刻告诉你“这里有问题推导不成立。”你可以把它想象成一个极度严谨的审稿人——它不会放过任何一个逻辑漏洞不会接受任何显然可得每一步都必须有严格的依据。那AI在里面扮演什么角色呢AI扮演的是翻译官和填缝工的角色。以前你要把一个人类写的证明翻译成形式化语言得自己一句一句地写非常费时费力。现在有了AI你可以用自然语言描述你的证明思路AI会帮你翻译成形式化代码。而且对于证明中的一些小缺口——比如某个步骤你觉得这一步很简单应该能证出来但具体怎么证你懒得想——AI可以自动帮你补上。陶哲轩是这么描述的“就像我在前面探路找到大方向然后AI在后面铺路把我踩出来的脚印变成一条平整的公路。”为什么形式化验证这么重要说到这里你可能会问数学证明不是一直都是人来检查的吗为什么一定要用计算机来验证问得好。我来给你讲一个故事。1993年数学家安德鲁·怀尔斯宣布证明了费马大定理——这个困扰了人类358年的难题。整个数学界都沸腾了。然而在随后的论文审稿过程中审稿人发现了怀尔斯证明中的一个漏洞。这个漏洞非常隐蔽藏在几百页证明的某一个角落里。怀尔斯花了整整一年时间才把这个漏洞补上。这就是问题所在现代数学的证明越来越长、越来越复杂有时候连最顶尖的数学家都难以完全掌握。一个重要定理的证明可能有几百页、涉及好几个不同的数学领域。审稿人要花好几个月甚至几年来检查而且还不一定能找出所有问题。历史上有不少数学定理在被证明多年之后才被发现证明是错的。形式化验证就是来解决这个问题的。用计算机来检查证明就不会有漏看的问题——只要系统说证明是对的那它就是对的。这也是为什么陶哲轩这么看重形式化验证——作为一个站在数学前沿的研究者他太清楚人会犯错这件事了。四、AI做数学到底有多强又有多弱现在我们来客观评估一下AI在数学上的真实水平到底怎么样它能做什么不能做什么AI已经做得很好的事情1. 计算和数值验证这是AI或者说计算机的传统强项不用多说。复杂的数值计算、大规模的模拟、暴力搜索反例……这些事情AI比人类强一万倍。2. 符号运算和公式推导像Mathematica、Maple这些符号计算软件已经发展了几十年了。现在加上AI之后能力更强了——化简复杂表达式、求积分、解微分方程这些机械性的推导工作AI做得又快又准。3. 形式化证明的翻译和检查就像前面说的把人类的证明思路翻译成形式化语言以及检查形式化证明的正确性这是AI目前最有价值的数学应用之一。4. 数学知识检索和概念解释想不起来某个定理叫什么名字不确定某个定义是什么意思AI可以快速帮你找到答案。而且它还能用通俗的语言解释抽象概念对学生和研究者都很有帮助。5. 跨领域联想AI因为见过的东西多有时候能发现一些人类注意不到的联系——比如数论里的某个方法可能在组合数学里也能用。这种跨领域的联想有时候能带来意外的突破。AI还做不好的事情1. 真正的数学创新到目前为止AI还没有独立证明出任何一个有重大意义的新数学定理。所有AI参与的数学突破都是在人类数学家的指导下完成的。为什么因为数学研究的核心——提出正确的问题、找到正确的方向、产生真正的洞见——这些都需要深刻的数学直觉和创造力而AI目前还没有这种能力。2. 深度战略思考证明一个大定理就像打一场大仗。你需要制定战略、规划路线、预判哪里会有困难。这种宏观层面的战略思考AI目前还做不了。它可以帮你打局部战斗但整场战争还得人类来指挥。3. 判断什么是有趣的数学数学不只是对不对的问题更是好不好、有没有意思的问题。什么样的问题值得研究什么样的结果是重要的这种审美层面的判断AI还远远达不到人类的水平。4. 发现新的数学对象和结构数学史上的重大突破很多是源于发现了全新的数学对象——比如虚数、非欧几何、群论、拓扑空间。这些全新概念的提出需要人类特有的想象力和洞察力AI目前还做不到。一个中肯的评价所以如果让我给现在的AI数学能力打个分大概是这样的本科生数学优秀大部分题都会做研究生数学及格能看懂基本的证明和概念前沿数学研究辅助角色能帮忙打下手但当不了主力就像陶哲轩说的它是一个初级合作者——有一些能力能帮上忙但还远远独当一面不了。五、5个值得一试的AI数学工具说了这么多理论你可能手痒痒想试试了。下面给大家推荐5个实用的AI数学工具从学生党到研究者都能找到适合自己的。1. Wolfram Alpha GPT-4 —— 计算与推理的黄金组合适用人群所有人从高中生到研究者Wolfram Alpha是老牌的数学计算引擎符号运算、数值计算、画图功能都非常强大。GPT-4则擅长理解自然语言和进行逻辑推理。两者结合之后你可以用自然语言描述你的数学问题GPT-4负责理解问题并规划解题步骤Wolfram Alpha负责具体的计算。这个组合基本上能搞定本科及以下所有数学题甚至很多研究生级别的问题也不在话下。2. Lean —— 形式化证明的首选工具适用人群数学研究者、对形式化证明感兴趣的人Lean是目前最火的形式化证明助手之一。它有一个非常活跃的社区已经把大量的数学定理形式化了——从基础的代数分析到前沿的代数几何应有尽有。Lean 4版本还集成了AI辅助功能可以用自然语言来指导证明的生成。虽然还不是全自动的但已经能大大提高形式化证明的效率了。陶哲轩现在用的主要就是Lean。如果你想体验一下人机协作做数学的感觉Lean是最好的入门选择。3. Claude 3 Opus —— 长文档数学分析利器适用人群需要读大量数学论文的研究者Claude 3 Opus最大的优势是它的上下文窗口非常大——可以一次塞进一整本数学书。如果你想让AI帮你读一篇数学论文、梳理一本书的结构、或者比较不同证明之间的异同Claude 3 Opus是目前最好的选择。它在数学推理上的能力也很强虽然偶尔还是会犯错但比起前几年的模型已经进步了一大截。4. MathGPT —— 国内的数学AI助手适用人群国内用户、学生党这是国内团队开发的数学专用AI对中文数学题的理解能力比国外模型要好。它支持从小学到大学的各种数学题不仅能给答案还能给出详细的解题步骤。如果你是学生用它来辅助学习数学、检查作业、理解难题是个不错的选择。5. GitHub Copilot —— 数学编程的好帮手适用人群需要写代码的数学研究者很多数学研究都需要写代码——做数值实验、验证猜想、跑模拟。这时候GitHub Copilot就是你的好帮手。它虽然不是专门的数学工具但写起数学相关的代码比如Python的NumPy、SciPy、SymPy非常顺手。你只要描述一下你想做什么它就能帮你写出完整的代码。对于需要大量编程的计算数学、应用数学研究者来说Copilot能节省很多时间。六、未来展望AI会取代数学家吗最后我们来聊一个大家最关心的问题AI最终会取代数学家吗我的答案是不会。但会用AI的数学家会取代不会用AI的数学家。为什么这么说我来给你讲两个历史故事。第一个故事计算器发明的时候很多人说算术家要失业了。确实纯靠手算吃饭的人少了很多。但数学并没有因此消亡——相反因为数学家不用再花大量时间做计算了他们可以研究更深、更难的问题数学反而发展得更快了。第二个故事计算机代数系统比如Mathematica出现的时候又有人说数学家要失业了。结果呢数学家们把这些工具用得飞起以前算不了的积分现在能算了以前解不了的方程现在能解了。数学的边界反而扩大了。AI也一样。它不是来取代数学家的而是来解放数学家的。想象一下如果一个数学家不用再花时间做繁琐的计算、不用再花时间检查证明的细节、不用再花时间查文献找资料——他能把省下来的时间用在哪里用在真正需要人类智慧的地方提出新的问题、发现新的方向、建立新的理论、做出新的洞见。陶哲轩在他的博客里写了这么一段话我觉得非常好“AI不会取代数学家。但AI会改变数学研究的方式。就像望远镜不会取代天文学家但它会让天文学家看到以前看不到的东西。AI就是数学家的望远镜——它能帮我们看得更远、更深、更清楚。”数学的本质从来不是计算也不是证明。数学的本质是洞见——对规律的洞察对结构的理解对美的追求。这些东西目前只有人类才有。当然我也不能说AI永远不可能有真正的数学创造力。谁知道呢也许十年后AI真的能独立提出新的数学理论解决人类解决不了的问题。但在那一天到来之前我们最好的策略不是害怕AI而是学会和AI合作。就像陶哲轩做的那样——把AI当成一个合作者一个工具一个延伸自己能力的手段。站在AI的肩膀上人类数学家才能走得更远。七、写在最后保持好奇拥抱变化最后我想聊聊陶哲轩这个人给我们的启示。你想啊陶哲轩是什么级别的人物数学界的天花板菲尔兹奖得主智商据说有230。这样的人按理说应该最看不起AI才对——毕竟他自己就是人类智慧的巅峰。但恰恰是他最快地接受了AI最快地学会了用AI来辅助自己的研究。为什么因为他有两个非常宝贵的品质第一保持开放的心态。他没有因为第一次接触AI觉得这东西不行就一棒子打死。他持续关注、持续尝试最终发现了AI的价值。第二准确评估工具的能力边界。他清楚地知道AI能做什么、不能做什么。他没有神化AI也没有贬低AI。他把AI放在了正确的位置上——一个有用的工具一个初级合作者。这其实是我们面对任何新技术时都应该有的态度。AI来了它不是洪水猛兽也不是万能神仙。它就是一个工具——一个很强大、但也有局限的工具。真正重要的不是AI有多强而是我们有多会用AI。陶哲轩已经走在了前面。他用实际行动告诉我们哪怕是世界上最聪明的数学家也能从AI那里获得帮助。那我们呢我们是不是也应该放下偏见试着去了解这个新工具试着去用它来提升自己数学的未来是人机协作的未来。而这个未来已经开始了。参考资料陶哲轩博客 “AI as a collaborator” 系列文章Lean Prover 官方文档与社区资源《形式化数学导论》—— Jeremy Avigad