徐一鸿 | 物理学的十大基础理念

物理学的十大基础理念演讲 | 徐一鸿(Anthony Zee)翻译 整理 | 叶凌远徐一鸿在 ICBS2024 20242024大会上的报告(由于当天技术故障视频缺失前三分钟内容)。“我想要知道上帝是如何创造出这个世界的。我对这样或那样的现象不感兴趣。我感兴趣的是上帝的思想其他的只是细枝末节而已。”——爱因斯坦徐一鸿在报告中指出他关注的是物理学中经过长期经验检验的基础理念而非尚未确立的前沿猜想因此不讨论弦论或量子引力。他承认这份十条清单带有个人色彩不同物理学家给出不同版本但它们都来自他对理论物理学习与研究的长期经验。1 最不可理解的事是世界竟是可理解的这句话出自爱因斯坦。这是整个人类有史以来最具有创造性的想法任何杂志的审稿人都会拒绝其发表。只有很少的一批人一些希腊人也有几个巴比伦人最早认识到了这一点。但据我所知大多数的古文明都没有明确地阐述这一想法。很久以前我曾在清华大学和孔良以及其他人有过很有趣的讨论探讨为何中国从没有过人想过世界是可以被理解的。与李约瑟问题所预设的前提不同只有技术的发展以及对一些经验知识的零散总结而没有一个以逻辑为基石的完整体系是不够的。为什么自然能被人类理解在一个平凡普通的星系、在围绕着一颗毫不起眼的恒星旋转的地球上演化出的人类到底有什么特殊之处为什么物理学的定律总是简洁而优美的如爱因斯坦所说我们完全可以设想我们生活在一个极端丑陋的宇宙里一个完全随机的宇宙没有任何现象能够通过思考来理解。另一种解释是最终只有能够被理解的那部分自然才能被我们所理解。2 物理学定律在任何地点和时间都是一致的从第一天起人就能看到超凡飘渺的月亮悬浮在天空像潮汐一般盈亏变换。但在数百万年之后直到牛顿人类才意识到月亮在下坠。不止如此下坠的月亮和下坠的苹果一样由相同的物理学定律所支配。物理学的定律是普适的永恒的。在牛顿之前人们会分别研究地球物理学和天体物理学认为地上的领域和天体的领域所遵循的规则是不同的。在牛顿之后天体物理学和宇宙学变成了物理学的一个分支。当然了某些长期以来物理学家所认为不言自明的物理规则也被认定是错误的。上世纪五十年代物理学家首次在实验上观察到弱相互作用会区分左右这一发现震惊了物理学界。物理学定律在任何时间地点都是一致的这一断言也可能被推翻但目前为止支持这一原则的证据是显著的。3 物理世界是量子的有关量子物理我们有许多熟悉的引言“量子力学完全不可理解。”——Roger Penrose“那些第一次接触量子力学而不被其震惊的人并没有真正理解。”——Niels Bohr“如果你没有对量子力学产生困惑你就没有理解它。”——John Wheeler我们当中的一些人在当学生时可能说过完全类似的话。对我这一代在美国成长的物理学家而言我们秉承了费曼shut up and calculate的理念(这句话并不来自于费曼而是 David Mermin 说的)。在以前学习物理时如果我们问任何有关量子力学的问题老师都会让我们去计算就好。谈谈量子物理特别是贝尔不等式相关的内容。二三十年前我曾试图阅读贝尔所著的书但里面有很多词语我不理解阅读有很多障碍。我不倾向于使用实在一词而是用反事实确定性来描述经典物理和量子物理的区别经典物理是反事实确定的而量子物理不是。要理解这一点假设有一位性格怪异的朋友(物理系到处都是这样的人)因为某些不可知的原因不愿意告诉我们他所拥有的一条围巾的颜色而是让我们猜。他告诉我们这条围巾有70 % 70\,\%70%的可能是蓝色的而有30 % 30\,\%30%的可能是红色的。但我们所有人都知道这条围巾有一个确定的颜色无论我们是否亲眼看见了它。由于他知道自己围巾的颜色他所言的概率完全是对这一概念的误用仅仅是想引诱我们进行猜测所说的花言巧语罢了。这本质上和问别人猜猜我上个周末干了什么是一样的无论是颜色还是周末所干的事都是确定存在的这就是所谓实在的含义。除了真正的疯子没有任何人会认为颜色是一个无意义的概念构思在没有人观测时就不存在。无论我们朋友的围巾是什么颜色的或者在周末干了什么这一问题的答案在我们问出这一问题时是不会改变的。这是反事实确定性的内涵也是经典物理学和量子物理学最基本的不同。而至于贝尔不等式它也可以看作是对经典物理学的一个断言。根据法国物理学家 Michel Le Bellac 的说法这一不等式最早源自于英国逻辑学家乔治·布尔反映的是最基本的布尔代数法则。例如假设B BBS SST TT分别是三个有关某个围巾的断言B BB代表围巾是蓝色的S SS代表围巾是丝绸的T TT代表围巾有流苏。我们用P ( B , S ) P(B,S)P(B,S)来表示B BBS SS这两个断言同为真或同为假的概率P ( B , T ) P(B,T)P(B,T)和P ( S , T ) P(S,T)P(S,T)含义也类似。则这三个概率的和大于等于1 11P ( B , S ) P ( B , T ) P ( S , T ) ≥ 1 P(B,S) P(B,T) P(S,T) \ge 1P(B,S)P(B,T)P(S,T)≥1因此理解贝尔不等式并不需要知道量子力学这是许多人有的一个误解。4 永恒的场爱因斯坦的挚爱宇宙是由许多不同的量子场交织在一起相互作用涌现而成的每一个场都影响着别的场如何演化。在上世纪二十年代的量子力学中电磁场是一个相对论性的场但电子仍被当成非相对论性的点粒子。在狄拉克发现了描述电子的相对论性方程之后约当说服了狄拉克认为电子也应该被当成一个场来描述——Weinberg 告诉我大部分的物理学教材(包括我自己的量子场论教材)都把历史弄错了狄拉克并不是最早提出电子也应当被当成场来处理的人他一开始甚至有些排斥这一想法。这标志着物理学一个重要的分水岭自此之后所有的物理对象都由一个场来描述。量子场论对许多问题都提供了简洁的答案。在我是学生的时候我不理解为何宇宙中所有的电子都是同一的。宇宙中有巨量的电子但在非相对论性的量子力学中电子的同一性只能被当成一个事实来对待无法进一步解释。理论物理总希望将假定的基本事实变得越少越好而量子场论对此提供了一个非常简明的答案这是因为只存在一个电磁场而所有的电子都只是这一个电磁场的激发而已。奥本海默也曾于1966 19661966年写到爱因斯坦全心全意地认同场的概念……这使得他早在提出广义相对论很久之前就知道引力必定是由场描述的。5 可畏的对称充满了对称的宇宙宇宙所遵循的基本定律出于某些原因满足许多的对称性。二十世纪的物理学一个最重要的主题就是对不断增长的对称性的发掘和欣赏。当十九世纪的数学家发明了群论时一部分人曾声明他们终于发明了一个物理学家无法偷走的理论。但那时的数学家无法预测量子力学的发现。量子物理极度依赖群的概念和工具来表述叠加态。经典物理没有叠加性原理因此它本质上不需要用到群论。历史学家和科学哲学家 Peter Galison 曾给我看了一篇论文。这篇论文由物理学家和科学史学家 Gerald Holton 所写阐述了一个令人震惊的事实他曾检查过二十世纪二十年代的物理学百科而在整本书中只有一处涉及到了对称性是在声明爱因斯坦的度量张量的角标在交换下保持不变。二十世纪的物理学几乎只有晶体学在讨论对称性。下述历史也很少有人知道。Wigner 将群论引入量子力学的研究影响十分深远。他在柏林获得学位后回到了他父亲位于匈牙利的皮革工厂。他在那里非常不开心他曾说如果他的后半生将在为女性制作皮包为男性制作皮鞋中度过他会疯掉的。因此他询问他的父亲能否回到德国工作。对于物理学的历史来说完全偶然的是他申请到的工作恰好是一位晶体学家的助手。也是由此他将群论引入了物理。Wigner 曾回忆薛定谔对他讲过五年之后没有人会再使用群论了。Wigner 将他的困惑告诉了冯·诺伊曼后者的话语则使他安心噢这些都是老骨头了。五年之后所有的学生都将学习群论。冯·诺伊曼说的是对的。我向本科生教授群论课程已经超过十年了也写过一本群论的教科书。因此圣巴巴拉分校所有物理系的本科生都应该学过群论。二十世纪的物理学也因此揭示了自然丰富的内部结构从S U ( 2 ) \mathrm{SU}(2)SU(2)对称性到S U ( 3 ) \mathrm{SU}(3)SU(3)对称性以及夸克的发现。强子的性质和数量与群表示论的深刻联系已经无法分割这最终导致了杨-米尔斯场论以及量子色动力学的发展。爱因斯坦曾这样描述过 Emmy Noether在找寻逻辑美的努力下她发现了充满神性的公式更深刻地揭示了自然定律的本质。诺特是对物理学做出杰出贡献的最伟大的数学家之一。她的工作揭示了物理学的守恒定律是来自于对称性。我们都知道物理学中许多物理量例如能量、动量都是守恒的。但这些守恒定律是从哪来的在我还是本科生的时候如果我问我的物理教授为什么这些量是守恒的我的教授是没有办法回答我的除非他知道诺特定理。诺特定理的确是对物理学伟大的贡献爱因斯坦也认为其具有神性。若在座的学生什么时候发现了一个能被爱因斯坦称为具有神性的公式你一定对物理学做出了了不起的贡献。6 爱因斯坦消灭相对性相对性一词从未在爱因斯坦原本的论文中出现过。相对论这一不幸的名称是一位名不见经传的德国物理学家 Alfred Bucherer 在1906 19061906年给出的。该人早就被遗忘在了历史的长河中。之后爱因斯坦曾后悔他没有将他的理论命名为不变性理论因为爱因斯坦理论的思想恰恰是物理规则不是相对的而是不变的不同的观测者所见的物理规律是一致的。我曾与一些哲学家有过碰面他们告诉我你们物理学家证明了真理是相对的如果爱因斯坦将其理论命名为不变性理论我就不用浪费我的时间向他们解释事实与此正相反了。一些哲学家还喜欢我的书我也曾受到哲学会议的邀请。去年一位哲学家还来到加州大学圣巴巴拉分校来见我。我问他我所有的书中都以戏谑的态度谈论哲学家为何还飞越大半个国家来找我。他答到不尽管你和费曼都嘲笑哲学家但你们最终所表达的观念是有哲学上的意义的。爱因斯坦曾反对过哲学家我相信哲学家对科学的进步起到了相反的作用因为他们将许多重要的基础概念从经验主义中剥离了出去……对时间和空间的概念来说更是如此。“顺便一提比起哲学家爱因斯坦更对艺术评论家生气因为他们曾将爱因斯坦评为立体主义之父”认为是他启发了毕加索等人的绘画。他觉得这完全是胡说八道。爱因斯坦最著名的公式E m c 2 Emc^2Emc2并没有出现在他原本的论文当中而是他在几个月后的一个小注释中提出的。那时他曾对这一公式的正确性非常怀疑他对一位朋友写道“这一论证是令人愉悦甚至是诱人的但就我所知上帝正嘲笑我写下的东西正牵着我的鼻子走呢。”我想要强调爱因斯坦对物理学的两个重要影响。首先爱因斯坦的工作使得同时性在物理学中不存在了。这对物理学而言十分重要因为它直接导致了所有的物理定律都应是局域的而不是全局的。在之前的物理学中守恒定律可以是全局的一个电子可以同时在北京消失而出现在非洲并不影响电荷的守恒。但在爱因斯坦的理论中由于同时性的丧失电子在北京消失后对某个观测者而言它是在昨天出现在了非洲。这显然违背了守恒定律因此也是不发生的。自此之后所有的守恒定律都是局域的是对同一时空点而言的。其次爱因斯坦将相对性变为了时空变换的不变性也是他意识到了牛顿的力学定律在洛伦兹变换下并不保持不变。7 宇宙中力的统一物理学的发展总是迈向统一的。牛顿将地球上的物理学和天体的物理学统一了起来麦克斯韦和他同时代的其他物理学家统一了电和磁。若从生活现象出发这种统一性完全不是显然的。声和光表面看起来如此不同但它们最终都可被归结于电磁场的相互作用。当物理学的统一迈进了十九世纪晚期二十世纪初引力、天体物理、地球物理以及声学都被归纳进了力学的范畴而光学、电学和磁学都归为了电磁学。爱因斯坦曾想统一电磁学和引力但他失败了。他失败的原因是由于他忽略了辐射这一现象而辐射现象的背后潜伏着强相互作用和弱相互作用。到了1983 19831983年电磁学和强相互作用与弱相互作用也统一了起来。至此若我们相信大一统理论则剩下没有统一的只有引力。我们希望超弦理论能达到这一目标但我们目前并不知道它是否会成功。8 造物者使用数学的语言我们认同造物者使用数学的语言这一观念至少可以追溯到伽利略。但之后 Wigner 写了一篇很有影响力的文章题目为数学在自然科学中不可理解的有效性。一些人认为这一观察是不值一提的而另一些人则认为其深刻甚至还有一部分人同时认同这两种说法。这是深刻的一个观察。物理学家对此有过很多的争论为什么数学在物理中这么有效物理学和数学的发展相互牵连谁也离不开对方。在十九世纪末二者的发展看起来相背离其中一个原因是数学走到了一个需要严谨公理化的阶段尽管有些数学家例如 Hermite 也谴责这一倾向。但弦论的发展让数学和物理又重新结合了起来。物理学需要数学。在弦论之前物理学与数学最重要最紧密的结合包括电磁学与偏微分方程引力与微分几何以及量子力学、粒子物理与群表示论。但同样令人惊讶的是对于大部分物理来说除开证明结果的严谨性理解自然所需要的数学几乎只涉及这些科目在本科教授的前几周的内容。当然了我这里说得更多的是费曼所言的理论物理学家中的工人阶级我自己在普林斯顿接受的教育也的确属于费曼学派。不同的物理分支所需要的数学内容以及深度都是不同的。弦论需要非常多的数学而天体物理所需要的数学内容则较少。在广袤的数学海洋中感受是只有极少的一部分数学内容看起来和物理是相关的至少目前来说是这样。回到上世纪五十年代在发现很多新粒子后面对这些看起来完全没有头绪的谜题物理学家曾自然地设想一些更高深的数学内容能够帮助我们理解这些物理现象。但最终随着弱电统一以及量子色动力学和大一统理论的发展一些基础的群论知识加上对于李群S U ( 3 ) \mathrm{SU}(3)SU(3)、S U ( 5 ) \mathrm{SU}(5)SU(5)以及S O ( 10 ) \mathrm{SO}(10)SO(10)的理解就已经足够了。一次又一次许多自称不懂数学的物理学家(我并不相信这一点)如 Gell-Mann 的成就超过比他们懂的数学多得多的人。许多物理学的分支如宇宙学和原子物理只需要很少的数学仍在向前蓬勃发展。但基础物理如粒子物理的研究目前来看似乎停滞不前了。我们需要很多的数学内容是数学家也还不知道的数学内容来帮助物理学。又物理学家需要自己解决自己的问题如上世纪五十年代那样(那时仍有非常多的实验结果)。此处我引用一位非常有智慧的人周恩来在回答基辛格问题时所说的话只有时间会告诉我们最后的答案了。9 熵和热分享在宇宙中不同的系统有不同的能量但它们都以某种方式想要相互分享这部分能量关于熵和热傅立叶被称为十八世纪多即不同的倡议者。他曾在他热学论文的前言中写道牛顿是个伟大的人用他的理论我们能解释从大炮发射到月亮运行的所有问题了留给我去解释的只有热和冷。昨天有人提到年轻人经常觉得物理学所有重要的事都已经被研究过了。傅立叶也一样认为牛顿做了物理学所有的工作。但他对于热学的研究让他发现了函数可以分解为无穷多正余弦函数的和这是伟大的数学发现。他也强调等式两边的物理量应该具有相同的量纲。牛顿当然也知道这一点但我仍认为傅立叶是量纲分析的先驱。另一位重要的人是 Rudolf Clausius他引入了Verwandlungsinhalt这一概念意即内容的变换。值得感恩的是他随后将其重新命名为了entropy也就是熵。“entropy一词选择得非常好因为它有很多近亲如tropical”还有例如zoetrope——该词是movie一词的前身相比而言我更喜欢前者因为它的前缀zoo是表示动物、生命而trope意为变换、运动换言之当事物动起来时它就变得有生命了。玻尔兹曼对熵和热力学第二定律的研究将热学带领向了微观世界。香农则将信息这一概念和熵联系了起来(我也向大家推荐 The Bit Player 这一纪录片讲述了香农有些扭曲的一生他也是唯一一名在高等研究院工作六个月后就辞职的人)。现在基于这些人的工作黑洞的信息熵是我们最有希望一窥量子引力奥秘的切入口是物理学前进的希望。10 作用量所在之处就是物理对我来说相同的物理原理有不同的表述方式这是神奇的甚至有些不合理。费马的最小作用量原理、反射折射的斯涅尔定律以及麦克斯韦的波动方程都描述了光线的轨迹。牛顿的力学方程、欧拉-拉格朗日变分原理以及哈密顿最小作用量原理也都描述了力学体系的运动。在我还是学生的时候我曾问我的教授为什么我们需要拉格朗日作用量或哈密顿作用量因为只要理解了牛顿的力学定律我们已经可以解决经典力学的所有问题了。这些作用量真正的闪光之处是在量子力学发展以后使用哈密顿的最小作用量原理我们能得到薛定谔方程。而在量子场论发展后拉格朗日量变成了最为重要的作用量因为它是相对论意义下的标量而哈密顿量不是这直接导致了场论的狄拉克-费曼路径积分表述。我一直认为这是一个未解之谜所有经验验证过的物理一直到大一统理论都可以归结为某种作用量原理。一个人可以写下无法被作用量原理解释的运动方程但因为某些深刻的原因所有基础物理的定律都可以由作用量原理得到。为何如此我们不知道。结尾我的演讲已经结束了但希望你们还能允许一个老人讲讲他自己的回忆。他展示了一些可能具有一点历史价值的照片。我生于中国但在我很小的时候我就跟随我父母离开了中国最终移民到了巴西我也在那里长大。我第一次回到中国是四十五年前而中国在这四十五年间的变化是不可思议的。那时中国刚刚走出文化大革命而四十五年后我们看到中国已经有了令人称奇的城市和建筑以及各种其他的成就。序言与补充作者构思历程徐一鸿教授构思本书已至少三十年也许有四十年。早在他写下第一本学术专著《自然力的统一》1及科普书《可畏的对称》后不久便开始思索统一与对称如何成为理论物理学的两大基石理念。多年来他陆续写下了心目中的理论物理十大理念清单。直到近年向普林斯顿大学出版社提交计划时他翻出多年来零星记录的五六份清单发现纵然细节与排序略有变动关键内容几乎一致。恒久而冷清的理念选择标准本书聚焦于理论物理的智识根基而非学界风潮。流行媒体常炒作极少数物理学家关心的狂想但本书不谈最热最新只论恒久而冷清。即便是学识渊博的读者也常被耸人听闻的新发现吸引但这些发现对物理学家而言可能乏味或很快被遗忘。物理不只是代入公式算出结果物理不只是代入公式算出结果。费曼曾精辟地比喻“物理就像性爱当然它可能会产生某些实在的结果但这可不是我们做它的原因。”2许多人被理解宇宙运作奥秘的渴望所驱使。尽管几乎所有物理学家一生研究的都是爱因斯坦口中的这个或那个现象但关于空间和时间本质的根本性洞见千载难逢。3本书宗旨是提供全面概览不特别关注细节除非作为说明需要。声明本书既非一般通俗读物也非教材。4展开任何一个思想都够写一本书因此许多必要主题被省略或一笔带过。书中难免重复旧作。正如费曼所言伟大理念若不刻意、清晰地传给新一代就无法长存。本书并非线性叙述章节安排基于作者逻辑。各章理念不可避免交织读者无需前置知识即可阅读后续章节。作者并非历史学家书中叙事不保证历史严谨性。此书为谁而作本书献给所有真正意义上的智识读者。若有中学生、大学生因本书立志投身物理作者将感到欣慰。此书也献给在职或退休的职场人士致敬他们追求宇宙真理的勇气与热情。读者若能略知爱因斯坦时空观及量子物理基础更佳但并非必须。四 结语与附录本书章节目录英文PrologueThe physical world is comprehensibleThe laws of physics are the same here, there, and everywhere, the same yesterday, today, and tomorrowThe world is quantumQuantum fields forever: Einstein’s total loveFearful symmetry: a universe full of symmetriesEinstein, the exterminator of relativity and the choreographer of spacetimeUnity of forces in the universeThe Creator speaks the language of mathematicsEntropy and thermal agitation: all about sharingPhysics is where the action isParting commentsAcknowledgmentsBibliographyTimelineIndex名家推荐“徐将科学语言与小说家的世界建构本领融为一体写出了一部引人入胜的数理神话史诗。” —— Emily Bowles, Library Journal“无论背景如何读者都会喜欢这本书。徐一鸿对物理关键理念进行了不寻常而发人深省的提炼。” —— Edward Witten, 普林斯顿高等研究院“本书语调亲切自然条理清晰地讲解了每个伟大思想背后的’运作机制’加上富有哲思与历史深度的探讨令阅读过程充满乐趣。” —— Sanjoy Mahajan,The Art of Insight in Science and Engineering一书作者“绿野仙踪曾劝告我们’别去看那幕后的人’但徐选择了无视这一指令。Top Ten Ideas of Physics 拉开帷幕为我们揭示了理论物理学世界的真貌。每一个梦想成为理论物理学家的学生都应当读这本书。” —— Steven K. Lamoreaux, 耶鲁大学“徐一鸿再施妙笔。他以一贯的洞察力、直觉、幽默、深度和原创性为读者呈现出一系列最重要的人类认知成果。正如我对他其他著作的态度一样我将一次次重读这本书。” —— Rob Phillips, 加州理工学院“徐以风趣而引人入胜的方式带领读者探索物理学中最基础的十个关键理念。这些概念优雅而简洁甚至无需公式便可体会其美感与深意。” —— Ian Low, 美国西北大学“Top Ten Ideas of Physics 承诺将引导愿意认真思考的读者深入理解现代物理的关键内涵。徐轻松的文风与充满启发的历史轶事使这段旅程变得妙趣横生。” —— Curtis G. Callan Jr., 普林斯顿大学“这不是一本面向普通大众的常规科普读物也不是供专家研习的物理教材徐独辟蹊径为我们奉上一场穿越物理学历史的奇妙旅程。” —— David B. Kaplan, 华盛顿大学延伸书单徐一鸿教授的研究领域十分广泛。在学术研究之外他撰写的教材与科普作品广为人知。普林斯顿大学出版社PUP共出版了他的 8 本著作推荐阅读其近期的作品以进一步了解其学术思想与科普风格。普林斯顿大学出版社PUP出版的徐一鸿A. Zee8 本著作如下教材类5 本Quantum Field Theory in a Nutshell果壳中的量子场论第二版2010 年精装ISBN978-0-691-14034-6Einstein Gravity in a Nutshell爱因斯坦引力导论2013 年出版精装ISBN978-0-691-14558-7Group Theory in a Nutshell for Physicists物理学家的群论2016 年出版精装ISBN978-0-691-16269-0Fly by Night Physics: How Physicists Use the Backs of Envelopes物理夜航船直觉与猜算2020 年出版精装ISBN978-0-691-18254-4Quantum Field Theory, as Simply as Possible轻松入门量子场论精装版 2023 年平装版 2025 年精装 ISBN978-0-691-17429-7平装 ISBN978-0-691-27045-6科普类3 本Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics可畏的对称初版 1986 年2016 年新版含彭罗斯序言最新版2016 New Princeton Science Library EditionISBN978-0-691-17326-9On Gravity: A Brief Tour of a Weighty Subject论引力2018 年出版精装ISBN978-0-691-17438-9Top Ten Ideas of Physics: Foundations for Understanding the Universe物理学十大观念理解宇宙的基础2025 年 6 月出版精装ISBN978-0-691-22580-7Reference重排自下文如有内容异常请看原文。物理学的十大基础理念 | 徐一鸿_腾讯新闻https://news.qq.com/rain/a/20250723A095UB00新书首发 | 徐一鸿新作物理学的十大基石理念https://mp.weixin.qq.com/s/YARWG4kQj08ZH4HhCiltSA注释《自然力的统一》最初由麦克米伦出版后由普林斯顿大学出版社在 Princeton Science Library 系列中重新出版已被翻译成多种语言。 ↩︎引用自 R. P. Feynman 著《这个不科学的年代》The Meaning of It All1963 年出版。 ↩︎那些不研究具体现象的至少应归为数学家或哲学家。 ↩︎此部分说明是为了预防亚马逊网站上常把教科书和科普书混为一谈的读者。 ↩︎