看到“2024年题22”这个编号高三党基本秒懂这就是一张数学卷子里最后那道压轴解答题。我拿到的是一套某地区2024届高三教学质量检测试卷最后一道压轴题满分12分三道小题层层递进分别考含参函数单调性、存在性求参和数列不等式证明。说实话整张卷子最值钱、最能拉开分差的就是这最后一道题。这篇文章我会把这道题从读题、拆题、写步骤到踩坑复盘完整拆给你看第一问求什么、第二问怎么转化、第三问如何利用前两问的结论我都会一步步写明白适合正在刷题的高三学生也适合想带学生攻克压轴题的同行参考。1. 这题到底难在哪先看完整题目1.1 题目原貌先上原题这个结构非常有代表性已知函数 f(x) ln(x1) - ax/(x1)其中 a ∈ R。(1) 讨论 f(x) 在 (-1, ∞) 上的单调性 (2) 若存在 x 0使得 f(x) 0求实数 a 的取值范围 (3) 证明对任意正整数 n都有 1/(n1) 1/(n2) ... 1/(2n) ln 2。第一问是含参讨论单调性第二问是存在性求参数范围第三问是数列不等式证明。三问看起来是三个独立的问题实际上是一条线穿下来的。出题人最狠的地方就在这里如果只看单问每问都不算超纲但把三个小问串在一起就构成了“导数研究函数性质函数性质反哺不等式证明”的完整闭环。1.2 三问之间的递进关系第一问是热身也是全题的地基。含参讨论单调性本质上是判断导函数的符号分段情况这里的难点在于参数 a 改变了导函数零点的位置。第二问在第一问的基础上研究函数图像“会不会掉到 x 轴下方”关键词是“存在”而不是“任意”这决定了它是一个存在性问题需要转化函数在正半轴的最小值。第三问最巧妙它直接取第一问里 a 1 这个特殊参数得到局部的函数不等式 ln(1x) x/(1x)再令 x 1/k对 k 从 n 到 2n-1 求和做一次裂项相消就结束了。整道题的逻辑链是先讨论一般参数下的单调性再锁定使函数取负值的特殊参数区间最后从特殊参数中提炼出不等关系去证明数列和。你如果直接做第三问会觉得无从下手但从第一问一路做下来第三问就是一个“套结论”的过程。这就是压轴题设计的高明之处它不是在考你某个孤立技巧而是在考你能不能把函数、导数、不等式、数列这几块知识拼成一张网。2. 拆题把题目翻译成可以操作的动作2.1 先摸清函数的底细拿到函数 f(x) ln(x1) - ax/(x1)先别急着求导养成摸清函数“性格”的习惯。观察几个关键点f(0) ln1 - 0 0所以原点一定在函数图像上。再看 x/(x1) 这个分式它和 ln(1x) 之间有非常著名的夹逼关系当 a 1 时f(x) ln(1x) - x/(1x)恰好是常见不等式中“左边分式”和“对数”的差值。这个差值在 x 0 时一定是正的就因为 ln(1x) 比 x/(1x) 大。从这个角度再看题目含义就清晰了a 相当于一个“放大系数”它决定减去的那一项有多强。a 很小甚至为负时减项很弱函数大概率保持在上方a 很大时减项变强函数有可能探到 x 轴下方。第二问问“存在 x 0 使 f(x) 0”直觉上答案应该在 a 偏大的那一侧后面算出来 a 1完全对得上。2.2 “讨论单调性”到底要讨论什么“讨论 f(x) 的单调性”翻译成操作就是讨论 f(x) 的符号恒定区间。求导后你会得到f(x) 1/(x1) - a/(x1)^2 (x1-a)/(x1)^2。分母 (x1)^2 在定义域 (-1, ∞) 上恒为正所以导函数的符号完全由分子 x1-a 决定。分子是一条斜率为 1 的直线零点是 x a-1。分类讨论的标准就出来了这个零点在不在定义域 (-1, ∞) 内。a ≤ 0 时a-1 ≤ -1零点不在定义域内分子恒为正函数单调递增a 0 时a-1 -1零点落入定义域函数先减后增。你注意一下分类的临界值不是 a 1而是 a 0因为定义域左端点是 -1零点 x a-1 要跟 -1 比较。2.3 存在性问题怎么转化为求最值第二问出现“存在 x 0使得 f(x) 0”大多数同学的问题是不会“翻译”。这句话等价于函数 f 在 (0, ∞) 上的最小值小于 0。因为只要有某个函数值小于 0最小值必然小于 0反过来如果最小值小于 0那取到最小值的点就满足 f(x) 0。这时第一问的单调性结论就派上用场了。画出草图如果 f 在 (0, ∞) 上单调递增又知道 f(0) 0那所有 x 0 处的函数值都大于 0不存在负值。如果 f 在 (0, ∞) 上先减后增那最小值出现在极小值点只要让这个极小值小于 0 就行。注意极小值点具体落在哪里决定了 a 的分段标准这就是第二问的关键。2.4 数列不等式为什么可以用导数结论第三问要证的和式左边是 n 项分数的累加右边是一个常数 ln 2。很多同学看到 ln 2 就慌其实它是突破口。把 ln 2 写成 ln(2n/n)再拆成对数的差ln 2 ln(2n) - ln n [ln(n1)-ln n] [ln(n2)-ln(n1)] ... [ln(2n)-ln(2n-1)]。右边就变成了 n 个对数差的累加正好可以和左边的 n 项一一对应比较。只要每一项满足 ln(k1)-ln k 1/(k1)把所有项加起来左边和式就小于 ln 2。到这一步第三问的所有线索都和第一问、第二问接上了那个不等式正是 a 1 时 f(x) 0 的直接推论。拆右边、逐项比较这两个动作就是这道题核心方法论的浓缩。3. 完整解答每一步写出来为什么这么写3.1 第一问含参分类讨论的标准写法先写求导过程一定要完整f(x) 1/(x1) - a/(x1)^2 (x1-a)/(x1)^2x ∈ (-1, ∞)。由于分母恒正只需看分子 x1-a 的符号。当 a ≤ 0 时对任意 x -1都有 x1-a ≥ x1 0所以 f(x) 0 恒成立f(x) 在 (-1, ∞) 上单调递增。注意 a 0 这个点也要放进来很多同学漏掉它导致分类不完整。当 a 0 时令 x1-a 0得 x a-1。由于 a-1 -1这个点落在定义域内。于是当 -1 x a-1 时f(x) 0函数单调递减当 x a-1 时f(x) 0函数单调递增。所以 f(x) 在 (-1, a-1) 上单调递减在 (a-1, ∞) 上单调递增。这里有两个书写上的硬性要求。第一单调区间不要用“∪”连接不能说成“在 (-1, a-1) ∪ (a-1, ∞) 上单调递增”因为函数在区间之间经历了减的过程。第二单调区间的端点一般写成开区间更稳妥尤其在导函数零点位置写开区间能避免边界争议。3.2 第二问存在的转化与边界处理第二问要分情况讨论但每种情况的依据都来自第一问的单调性结论。若 a ≤ 0由第一问可知 f 在 (-1, ∞) 上单调递增且 f(0) 0。所以对任意 x 0都有 f(x) f(0) 0不存在满足 f(x) 0 的点。若 0 a ≤ 1此时 a-1 ≤ 0函数在 (-1, a-1) 上递减在 (a-1, ∞) 上递增。因为区间 (0, ∞) 完全落在 (a-1, ∞) 内所以 f 在 (0, ∞) 上单调递增。同样有 f(x) 0不符合题意。若 a 1此时 a-1 0函数在 (0, a-1) 上单调递减在 (a-1, ∞) 上单调递增所以在 x a-1 处取得最小值f(a-1) ln a - a(a-1)/(a) ln a - (a-1)。接下来要用一个经典不等式当 a 1 时ln a a-1。证明很简单令 φ(x) x-1-ln xx 0求导得 φ(x) 1 - 1/x所以 φ(x) 在 (0,1) 上递减在 (1,∞) 上递增最小值是 φ(1) 0因此 x 1 时 φ(x) 0即 ln x x-1。于是 f(a-1) 0满足存在性条件。综上实数 a 的取值范围是 a ∈ (1, ∞)。注意这里 a 1 是开区间边界因为 a 1 时最小值在 x 0 处取得f(0) 0没有小于 0 的点。这道题第二问的隐藏考点其实就是“用第一问的结论去定位最小值”如果你不看第一问单做第二问会很被动。另外a 1 时的这个极值点位置和第三问也有微妙呼应。3.3 第三问从函数不等式到数列求和第三问并不需要再讨论参数而是取第一问中的特殊情形 a 1。此时 f(x) ln(1x) - x/(1x)。由第一问结论a 1 0函数在 (0, ∞) 上单调递增且 f(0) 0因此对任意 x 0都有f(x) f(0) 0即 ln(1x) x/(1x)。这个不等式是整个第三问的“弹药”。接下来令 x 1/k其中 k 为正整数代入ln(1 1/k) (1/k)/(1 1/k) 1/(k1)。而 ln(1 1/k) ln((k1)/k) ln(k1) - ln k所以得到ln(k1) - ln k 1/(k1)。现在对 k n, n1, ..., 2n-1 求和。左边是[ln(n1)-ln n] [ln(n2)-ln(n1)] ... [ln(2n)-ln(2n-1)] ln(2n) - ln n ln 2。右边是1/(n1) 1/(n2) ... 1/(2n)。每一项左边大于右边逐项相加后不等式方向不变因此ln 2 1/(n1) 1/(n2) ... 1/(2n)。这就是要证明的结论。这里唯一容易出错的就是下标为什么 k 从 n 取到 2n-1而不是从 n 取到 2n因为右边需要分母等于 k1为了让分母覆盖 n1 到 2nk 只能从 n 到 2n-1。检验一下k n 时右边是 1/(n1)k 2n-1 时右边是 1/(2n)刚好覆盖完整。3.4 解答完的自我检验我做完题有一个习惯拿特殊值验一遍特别是端点。第一问 a 0 的情况代入原函数 f(x) ln(1x)在 (-1,∞) 上确实单调递增。第二问取 a 1.5f(0.5) ln1.5 - 1.5×0.5/1.5 0.4054 - 0.5 -0.0946 0确实存在负值取 a 1f(x) 0确实没有负值所以范围 (1,∞) 是准的。第三问取 n 1左边 1/2 0.5ln2 ≈ 0.693成立取 n 2左边 1/3 1/4 ≈ 0.5833仍然小于 ln2。当 n 增大左边会从下方趋近 ln2这个方向也是对的。检验这些小量能帮你发现解题中的逻辑错误尤其是放缩方向是否反了。4. 实战中踩过的坑压轴题失分点清单4.1 分类讨论的临界点丢了第一问最经典的错误是把 a ≤ 0 和 a 0 写成 a 0 和 a ≥ 0或者干脆丢掉 a 0。这题里 a 0 时函数是单调递增的和 a 0 时“先减后增”完全不同丢掉这个点等于整体分类不完整。建议每次分类前先列出所有让导函数零点等于定义域端点的参数值这些点就是分段的临界值宁可多写一段不要少写一段。4.2 单调区间的写法有问题很多同学会把单调区间写成“(-1, a-1) ∪ (a-1, ∞)”这是明显错误的因为这两个区间之间不是连续的单调关系中间有一个极小值点。规范写法是分行写“单调递减区间为 (-1, a-1)单调递增区间为 (a-1, ∞)”。另外增区间和减区间的端点不要随意写闭区间导数为零的点到底是极大还是极小要看左右两侧符号开区间最安全。4.3 存在性和任意性混为一谈第二问的关键词是“存在”它和“任意”的解法完全不同。有同学把题目理解成“任意 x 0都有 f(x) 0”于是去求 f(x) 的最大值小于 0最后推出一个完全相反的范围。怎么避免拿到题目先在草稿纸上画个大概的函数草图存在性问题对应“图像至少有一处掉到 x 轴下方”任意性问题对应“图像整段都不高于 x 轴”两者画出来完全是两种形态。4.4 放缩方向搞反导致不等式越证越离谱第三问里不等式的方向由你选用的“哪一侧放缩”决定。ln(1x) 有一个著名夹逼关系x/(1x) ln(1x) xx 0。本题要证的和小于 ln2所以你希望每一项满足“真数对数 分式”也就是用左边不等式。如果你背混了用成 ln(1x) x那每一项得到的是 ln(k1)-ln k 1/k这个累加结果根本无法和目标和直接比较方向就乱了。我的经验是夹逼关系的两个方向都要会自己推导不要死记硬背而推导方法就是构造函数求导看单调性和本题第一问完全同构。4.5 白白丢掉的步骤分第三问即使最后没证出来也千万别空着。你可以写出“由第一问当 a 1 时f(x) 在 (0,∞) 上单调递增故 ln(1x) x/(1x)”这一句就是得分点。再往下令 x 1/k写出 ln(k1)-ln k 1/(k1)又是一串分数。就算最后求和卡住了前面这些步骤已经拿到了大部分分数。压轴题是按步给分不是按结果给分这个意识要从平时刷题就建立起来。5. 从这道题延伸出去的解题套路5.1 含参讨论单调性的固定流程这道题的第一问其实代表了一整类含参导数题流程完全可以固化下来第一步求导能因式分解就因式分解能看出分母符号恒正就直接说明。第二步把导函数的符号归结到某个“关键因子”比如本题的 x1-a。第三步求关键因子的零点拿它和定义域端点比较确定参数临界值。第四步按临界值分段分别写单调区间。第五步把临界参数代入原函数单独验证一次。这个流程熟练之后含参讨论单调性基本不会漏情况。我在批改中看到太多同学不是不会求导而是讨论逻辑混乱说到底就是没有按这个固定顺序执行。a 的范围导函数零点 x a-1 的位置f(x) 的单调性a ≤ 0不在 (-1,∞) 内在 (-1,∞) 上单调递增a 0在 (-1,∞) 内部在 (-1, a-1) 上递减在 (a-1,∞) 上递增5.2 出现“ln”就有戏五组必背对数不等式凡是导数题里出现 ln你就要条件反射般想到一组“导数不等式链”。最常用的是这几个ln(1x) xx 0ln(1x) x/(1x)x 0ln x x-1x 0 且 x ≠ 1ln x 1 - 1/xx 0ln a - ln b 与分式比较可以替换成上面任意一条本题第二问用了 ln x x-1第三问用了 ln(1x) x/(1x)。这些不等式的共同来源都是“构造函数求导讨论单调性”所以本质上不需要死记如果你忘了某一方向只需要临时构造一个函数求导看单调性就能推出来。不过考场时间紧张建议还是把最常用的几条背下来熟练到形成肌肉记忆。5.3 数列不等式证明的四板斧数列不等式在压轴题里出现频率很高常见解法可以归成四类裂项相消、积分放缩、数学归纳法、合理配凑。本题用的是“裂项相消 逐项放缩”的组合策略而且裂的是对数不是常规的分式。这道题给你的启发在于当右边是一个对数常数时尝试把常数变成差的形式。比如 ln2 ln(2n/n)再拆成若干个 ln(k1)-ln k。这个技巧非常通用凡是看到要证“若干项分数和 ln 某个数”的题目都可以往上套。反过来如果遇到和式大于某个数也可以考虑把对数常数往“积分”方向拆原理是一样的。6. 复盘这道压轴题教给我的几件事6.1 复习时压轴题怎么刷最有效这道题拆完你会发现压轴题并不是完全靠灵感它有非常清晰的逻辑骨架。刷题时不要追求每天刷很多而是要求自己“讲得出每一步为什么这么写”。比如这道题你能不能给别人解释清楚为什么第二问的临界值是 a 1 而不是 a 0为什么第三问的 k 从 n 取到 2n-1能讲清楚才算真正消化。我见过太多同学刷完题只记得答案下次遇到类似题还是不会本质就是没有复盘“为什么”。第一问是保底分再难也要拿下。含参单调性是高考的高频考点练到熟练以后第一问不该丢分。第二问的“存在性问题”是中等难度关键在于转化的能力。第三问是拉开差距的地方但它的每一步都建立在前面的结论上平时多积累这类“用前问结论解决后问”的题型考场上就不会慌。6.2 考场上的时间分配建议压轴题在考场上的合理用时因人而异但我的建议是第一问控制在 5 分钟内第二问 5 到 8 分钟第三问尽量留 5 分钟以上。如果第二问卡住超过 8 分钟先跳过做第三问的第一拍——“由 a 1 得到函数不等式”因为这一步基本不依赖第二问丢了可惜。我见过一些学生前面的题做得飞快留了 25 分钟给压轴题结果因为紧张反复在第二问的死角里绕圈最后第三问只写了一行。反过来也有学生前面磨太久最后压轴题只剩 5 分钟第一问都来不及写完这就更亏了。压轴题的第一问其实不难别因为时间分配失误把它也丢掉。6.3 最后再分享一个小技巧我个人在带学生刷题时会把这道题的第三问改编成一道“反向题”证明 1/(n1) 1/(n2) ... 1/(2n) ln(2n/(n1))。你会发现方法完全一样只是换成了积分估计或者另一个方向的放缩。这样一正一反练两次比单纯刷三遍原题都有效。所以如果你做完这道题还有余力不妨自己试着改改参数、改改上下标把它彻底“榨干”。