这里这里总结了我的笔记极限导数以及多元函数这几章还是不错微分方程这一章绕过去绕过来总觉得不够清晰一会儿是解法一会儿是方程形式。第七章介绍的都是常微分方程也简称微分方程对于这种方程先判断其阶数、是否线性、是否齐次、是否常系数然后根据对应的方法求解。第七章第二节也说了第二节到第四节都是说的一阶微分方程的解法。我感觉应该要用分类法把标题清晰明了一点才好其实内容感觉还是比较丰富。一、常微分方程形如F(x,y,y′,y′′,...,y(n))0F(x,y,y,y,...,y^{(n)})0F(x,y,y′,y′′,...,y(n))0的方程联立后就成为微分方程组常微分方程指的是求解的未知函数是一元函数只有一个变量。常微分方程Ordinary Differential Equations常见的微分方程常是常规的通常的单一变量的意思。根据方程的阶数分为一阶和n阶1.1 一阶常微分方程一阶指的是方程中出现的(未知函数的最高阶导函数)是1阶导函数。再根据是否是线性分为一阶线性和一阶非线性一阶中的线性指的就是方程对于yyy以及yyy的导数y′yy′是否是一次方程。1.1.1 一阶线性常微分方程可用变量分离法求解形如y′P(x)yQ(x)yP(x)yQ(x)y′P(x)yQ(x)的方程线性指的是这个方程对于未知函数yyy以及其导数是一次方程。再根据齐次与非齐次分为1.1.1.1和1.1.1.21.1.1.1 一阶线性齐次常微分方程即Q(x)0Q(x)0Q(x)0这里的齐次意思是在一阶线性条件下不含yyy以及yyy的导数的项等于01.1.1.2 一阶线性非齐次常微分方程与齐次相对即Q(x)Q(x)Q(x)不等于0。这里的齐次非齐次可以用F(y,y′)F(y,y)F(y,y′)是齐次函数的概念解释常数变易法可以用于求解一阶线性非齐次方程1.1.2 一阶非线性常微分方程意指关于位置函数yyy及其导数y′yy′不是一次方程齐次与否用是否可以写成dydxf(yx)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}f(\frac{y}{x})dxdy​f(xy​)来判定因此继续细分1.1.2.1 一阶非线性齐次常微分方程1.1.2.1此类的方程可以使用引入新函数uyxu\frac{y}{x}uxy​求解的方法求解1.1.2.2 一阶非线性非齐次常微分方程不能写成如上面1.1.2.1 齐次函数的形式时如果是dydxaxbyca1xb1yc1\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\frac{axbyc}{a_1xb_1yc_1}dxdy​a1​xb1​yc1​axbyc​的形式转化为齐次方程求解或者尝试分离变量法也可以应用于更一般的形式dydxf(axbyca1xb1yc1)\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}f(\frac{axbyc}{a_1xb_1yc_1})dxdy​f(a1​xb1​yc1​axbyc​)1.2 n阶常微分方程方程中出现的未知函数的最高阶导数大于1阶通过降阶求解几种可降阶的高阶微分方程形式如下y(n)f(x)y^{(n)}f(x)y(n)f(x)左右连续同时积分降阶y′′f(x,y′)yf(x,y)y′′f(x,y′)令py′pypy′先求出ppp再求yyyy′′f(y,y′)yf(y,y)y′′f(y,y′)令py′pypy′先求出ppp再求yyy1.2.1 n阶线性常微分方程线性与否还是可以使用方程对于yyy以及yyy的导数是否是一次函数判定欧拉方程就是一种n阶变系数线性非齐次常微分方程。1.2.1.1 n阶线性齐次常微分方程还是可以通过不含yyy以及yyy的导数的项是否等于0来判定齐次和非齐次二阶常系数线性齐次微分方程可以通过特征方程法直接求解。推广到n阶常系数线性齐次微分方程1.2.1.2 n阶线性非齐次常微分方程已经知道如何通过二阶常系数线性齐次微分方程求得通解在非齐次方程中f(x)f(x)f(x)取两种常见形式时可以通过待定系数法求特解。1.2.2 n阶非线性常微分方程方程对于yyy以及yyy的导数不是一次函数伯努利方程dydxP(x)yQ(x)yn\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}P(x)yQ(x)y^ndxdy​P(x)yQ(x)ynn≠0,1n \neq 0,1n0,1等于0或者1的时候就可以按照分离变量法求解了。变量代换化为线性方程求解即两端同时除以yny^nyn然后令zy1−nzy^{1-n}zy1−n1.2.2.1 n阶非线性齐次常微分方程非线性微分方程不存在齐次或者非齐次的统一术语但在一些领域确实存在一种基于尺度不变性和加权齐次性的推广。1.2.2.2 n阶非线性非齐次常微分方程不存在判断标准。