文章目录0、 背景1、变系数常微分方程的定义、表达形式及基本结论定理1定理22、 贝塞尔方程、贝塞尔函数与勒让德方程、勒让德函数3、工程中的案例3.1 桩基础受力模型（来自文献[2]）3.2 锥壳受力模型（来自文献[3]）0、 背景在学校里的时候，学习常微分方程，多数情况下指的都是常系数的常微分方程（当然，这里只讨论线性的情况，后文不再赘述）。这一类方程大都有成熟的解法，并且在大学本科也有较多的学习。但在工作以后，实际工程中也常常会遇见变系数的常微分方程，本文将结合个人工作经历梳理变系数常微分方程的基本理论和求解方法。相比于常系数的常微分方程，变系数常微分方程的求解复杂程度完全是另一个维度的。但是它却能更真是的描述研究对象。本文内容参考如下文献：1、《数学物理方法》 第四版 汪德新；2、《桥梁桩基础分析和设计》 胡人礼；3、《板壳理论》 铁木辛柯1、变系数常微分方程的定义、表达形式及基本结论以常见的二阶方程为例，其表达式如下：w ′ ′ ( z ) + p ( z ) w ′ ( z ) + q ( z ) w ( z ) = 0 (1) w''(z)+p(z)w'(z)+q(z)w(z)=0 \tag{1}w′′(z)+p(z)w′(z)+q(z)w(z)=0(1)式中w ( z ) w(z)w(z)是待求的复变函数；p ( z ) p(z)p(z)和q ( z ) q(z)q(z)是已知的复变函数，称为方程的系数。方程（1）的解的形式由方程的系数p ( z ) p(z)p(z)及q ( z ) q(z)q(z)的解析性决定。若函数 (f(z)) 在z 0 z_0z0​点的邻域( ∣ z − z 0 ∣ ε ) (|z-z_0|\varepsilon)(∣z−z0​∣ε)点点可导，则称f ( z ) f(z)f(z)在z 0 z_0z0​点解析，它比 “f ( z ) f(z)f(z)在z 0 z_0z0​点可导” 要求为高。在进一步说明其解的性质之前，需要引入常点、奇点、正则奇点和非正则奇点几个概念：常点：如果p ( z ) p(z)p(z)和q ( z ) q(z)q(z)在z 0 z_0z0​点的邻域解析，z 0 z_0z0​称为方程的常点奇点：如果p ( z ) , q ( z ) p(z),q(z)p(z),q(z)中至少有一个在z 0 z_0z0​点不解析，则z 0 z_0z