1.学会计算例1如图1所示现已知一个袋子中有8个球其中黑球3个白球5个。要求1从中一次性取5个球其中恰好3个球是白球的概率。2每取一个球后又放回取5次恰好取到3个球是白球的概率。图1 袋子及其中的8个球先来求解第1问。要想打好概率统计基础大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。学习有困难吗欢迎给我留言讨论提出问题。设一次性取5个球其中恰好3个球是白球为事件A。首先从8个球中选出5个球的选法数有C 8 5 C_{8}^{5}C85​种。其中满足有3个球是白球的选法数为C 5 3 C 3 2 C_{5}^{3}C_{3}^{2}C53​C32​为什么是这样计算的呢C 5 3 C_{5}^{3}C53​表示从5个白球中选出3个白球C 3 2 C_{3}^{2}C32​表示从3个黑球中选出2个黑球。因此P ( A ) C 5 3 C 3 2 C 8 5 C 5 2 C 3 1 C 8 3 10 × 3 56 ≈ 0.5357 P(A) \frac{\mathbf{C}{5}^{3}\mathbf{C}{3}^{2}}{\mathbf{C}{8}^{5}} \frac{\mathbf{C}{5}^{2}\mathbf{C}{3}^{1}}{\mathbf{C}{8}^{3}} \frac{10 \times 3}{56} \approx 0.5357P(A)C85C53C32​C83C52C31​5610×3​≈0.53572.推广应用推广应用到次品抽检中。设某批次共有成品n件次品有e件。现从中抽出a件成品其中正好有b件成品是次品的概率为C e b C n − e a − b C n a \frac{\mathbf{C}{e}^{b}\mathbf{C}{n - e}^{a - b}}{\mathbf{C}_{n}^{a}}Cna​CebCn−ea−b​如某厂生产的零件成品1000件中次品有100件。现从中抽出10件进行检查其中至少有1件次品的概率为多少。正好有1件次品的概率为C 100 1 C 990 9 C 1000 10 ≈ 0.0922 \frac{\mathbf{C}{100}^{1}\mathbf{C}{990}^{9}}{\mathbf{C}_{1000}^{10}} \approx 0.0922C100010​C1001C9909​≈0.0922正好有2件次品的概率为C 100 2 C 990 8 C 1000 10 ≈ 0.0038 \frac{\mathbf{C}{100}^{2}\mathbf{C}{990}^{8}}{\mathbf{C}_{1000}^{10}} \approx 0.0038C100010​C1002C9908​≈0.0038后续再计算正好3件次品以上概率已经很低忽略不计。如此至少有1件次品的概率共计约为0.0960。也就是说大约有10%的概率抽到次品。要想打好概率统计基础大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。学习有困难吗欢迎给我留言讨论提出问题。再来求解第2问。设取一个球后又放回取5次恰好取到3个球是白球为事件B。因为有放回的取球故每次取球都是独立的每次取得白球的概率为5 8 \frac{5}{8}85​。5次取球中得正好有3次取白球故概率为( 5 8 ) 3 \left( \frac{5}{8} \right)^{3}(85​)3还有2次是取黑球故概率为( 3 8 ) 2 \left( \frac{3}{8} \right)^{2}(83​)2。由于5次取球中有3次取白球故取法有C 5 3 \mathbf{C}_{5}^{3}C53​种。故最终计算得到事件B的概率为P ( B ) C 5 3 × ( 5 8 ) 3 ( 3 8 ) 2 ≈ 0.3433 P(B) \mathbf{C}_{5}^{3}{\times \left( \frac{5}{8} \right)}^{3}\left( \frac{3}{8} \right)^{2} \approx 0.3433P(B)C53​×(85​)3(83​)2≈0.3433这正是伯努利概率模型的一个例子。重复n次试验每次试验独立且结果只有两种A ‾ \overline{A}A和A。已知P ( A ) p P(A) pP(A)pP ( A ‾ ) 1 − p P\left( \overline{A} \right) 1 - pP(A)1−p。则重复n次试验后A发生k次的概率为C n k × p k ( 1 − p ) n − k \mathbf{C}_{n}^{k}{\times p}^{k}(1 - p)^{n - k}Cnk​×pk(1−p)n−k